Tema 22 de Primaria: los números y el cálculo numérico

Material de consulta elaborado por el equipo de Opositor AI. Normativa comprobada en el BOE en octubre de 2026. No es un tema para memorizar: es la base para que construyas el tuyo con tu propia redacción.

---

1. Título oficial y orden que lo aprueba

Tema 22. El aprendizaje de los números y el cálculo numérico. Números naturales, enteros, fraccionarios y decimales. Sistemas de numeración. Relación entre los números. Operaciones de cálculo y procedimientos del mismo (cálculo escrito, mental, estimación y calculadora). Intervención educativa.

• Norma que aprueba el temario: Orden ECI/592/2007, de 12 de marzo, por la que se aprueba el temario que ha de regir en el procedimiento de ingreso, accesos y adquisición de nuevas especialidades, para la especialidad de Primaria en el Cuerpo de Maestros, regulada por el Real Decreto 276/2007, de 23 de febrero (BOE n.º 64, de 15 de marzo de 2007).
• Por qué sigue vigente: los temarios de Maestros aprobados en 2011 (Orden EDU/3136/2011) no llegaron a aplicarse, porque la Orden ECD/191/2012, de 6 de febrero, restableció los anteriores. Su artículo 1.b) declara aplicable a Primaria «El temario establecido por la Orden ECI/592/2007».
• ¿Hay temario nuevo? No, en octubre de 2026. El Ministerio presentó a finales de julio de 2026 un primer documento de trabajo para reformar el acceso a la función docente, que incluye renovar los temarios, y la negociación se retomaba en septiembre. No hay ninguna orden nueva de temarios de Maestros publicada en el BOE. Revisa el título antes de cada convocatoria.

Un título de 2007 leído con la normativa de 2026

El enunciado está calcado del currículo de 2006. El Real Decreto 1513/2006 (derogado) organizaba Matemáticas en bloques y el primero se llamaba «Números y operaciones»; en el tercer ciclo incluía, entre otros, «Números positivos y negativos. Utilización en contextos reales», «Sistemas de numeración en culturas anteriores e influencias en la actualidad» y la «Utilización de la calculadora en la resolución de problemas, decidiendo sobre la conveniencia de usarla en función de la complejidad de los cálculos» (anexo II, Matemáticas, tercer ciclo). De ahí salen los «enteros», los «sistemas de numeración» y la «calculadora» del título. Hoy hay que traducirlo así:

Ninguna parte del título ha desaparecido, pero dos han cambiado de estatus: los enteros y los sistemas de numeración históricos ya no son saberes mínimos de Primaria. No los suprimas (el tribunal los busca porque están en el título), pero explica dónde están hoy (apartado 4.5). Lo que delata un tema desactualizado es citar el Real Decreto 1513/2006 o el Real Decreto 126/2014 como vigentes, hablar de «bloques de contenido» o de «estándares de aprendizaje evaluables».

2. Qué pide realmente el enunciado

El título es largo y enumerativo. Un tribunal lo leerá como una lista de comprobación: cada elemento tiene que estar, aunque no todos pesen lo mismo.

Introducción y conclusión: en torno a un 10 % en conjunto. Los pesos son una recomendación nuestra para equilibrar el tema, no un criterio oficial de ningún tribunal.

Matices que marcan la diferencia:

• «El aprendizaje de los números»: el título no pide solo matemáticas, sino cómo se aprenden. Un tema que define conjuntos numéricos como un libro de texto de ESO y no dice nada del alumno se queda a medias.
• «Procedimientos del mismo»: son cuatro y el enunciado los nombra entre paréntesis. Los cuatro tienen que tener epígrafe o, al menos, un bloque propio. La calculadora no se despacha con una línea.
• «Relación entre los números»: no es un cajón de sastre. Es orden, equivalencia, divisibilidad y, sobre todo, las conexiones entre representaciones (3/4 = 0,75 = 75 %).
• «Intervención educativa»: va al final, pero no es un apéndice. Si cada epígrafe ya lleva su aplicación al aula, el último puede dedicarse a principios, errores, evaluación y diversidad.

3. Índice recomendado

1. Introducción
2. El aprendizaje de los números y del cálculo
   • 2.1. La construcción del número: de Piaget a los principios del conteo
   • 2.2. Sentido numérico, comprensión y procedimiento
3. Los conjuntos numéricos en la Educación Primaria
   • 3.1. Números naturales
   • 3.2. Números fraccionarios
   • 3.3. Números decimales
   • 3.4. Números enteros
4. Sistemas de numeración
   • 4.1. Tipos de sistemas y evolución histórica
   • 4.2. El sistema de numeración decimal y su didáctica
5. Relaciones entre los números
6. Operaciones de cálculo y sus procedimientos
   • 6.1. El sentido de las operaciones
   • 6.2. Cálculo escrito
   • 6.3. Cálculo mental
   • 6.4. Estimación
   • 6.5. La calculadora
7. Intervención educativa
   • 7.1. Principios metodológicos y recursos
   • 7.2. Errores frecuentes, evaluación y atención a las diferencias
   • 7.3. Una situación de aprendizaje
8. Conclusión
9. Bibliografía y referencias normativas

Variante válida: fusionar 4 y 5 en un solo epígrafe (sistemas de numeración y relaciones entre los números) y dar más espacio al 6. Funciona bien si tu punto fuerte es el cálculo. Lo que no conviene es meter los cuatro procedimientos en un único párrafo.

---

4. Desarrollo de cada epígrafe

4.1. Introducción

Ideas clave

• Justificación: el número y el cálculo son, junto con la lectura y la escritura, la finalidad más antigua de la escuela primaria, y siguen en la ley.
• Relevancia: aprendizaje instrumental para las demás áreas y para la vida (dinero, tiempo, medida, datos).
• Enfoque actual: no se trata de calcular rápido, sino de comprender y usar los números con flexibilidad; el currículo lo llama sentido numérico. La expresión no es nueva: el Real Decreto 1513/2006 ya decía que «El bloque 1, Números y operaciones, pretende esencialmente el desarrollo del sentido numérico» (anexo II); lo nuevo es que hoy da nombre al primer bloque de saberes.

Normativa que puedes citar (verificada en el BOE)

• LOE, art. 16.2: la finalidad de la etapa es facilitar los aprendizajes de «la expresión y comprensión oral, la lectura, la escritura, el cálculo» (entre otros).
• Real Decreto 157/2022, art. 4: repite esa finalidad y añade expresamente «la escritura, el cálculo, las habilidades lógicas y matemáticas».
• LOE, art. 17.g) y Real Decreto 157/2022, art. 7.g): objetivo de etapa, «Desarrollar las competencias matemáticas básicas e iniciarse en la resolución de problemas que requieran la realización de operaciones elementales de cálculo, conocimientos geométricos y estimaciones, así como ser capaces de aplicarlos a las situaciones de su vida cotidiana». Fíjate en que ya aparecen el cálculo y la estimación.
• Real Decreto 157/2022, art. 6.4: «Los aprendizajes que tengan carácter instrumental para la adquisición de otras competencias recibirán especial consideración».
• Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas: «El sentido numérico se caracteriza por el desarrollo de destrezas y modos de pensar basados en la comprensión, la representación y el uso flexible de números y operaciones para, por ejemplo, orientar la toma de decisiones». Es la definición que debe vertebrar el tema.
• Decreto autonómico de currículo de Primaria de tu comunidad (ver apartado 8).

Aplicación al aula para abrir con fuerza

Un contraste concreto: un alumno de 2.º que resuelve 38 + 25 en el cuaderno «llevándose una» puede no saber explicar qué es esa «una»; otro que piensa «38 + 2 = 40, y me quedan 23, 63» está usando el valor posicional sin nombrarlo. El tema trata de qué hace falta para que el primero llegue a ser el segundo.

4.2. La construcción del número: de Piaget a los principios del conteo

Ideas clave

• Piaget: el número no se aprende recitando, se construye como síntesis de dos operaciones lógicas, la clasificación (inclusión de clases) y la seriación (orden). Su indicador clásico es la conservación de la cantidad: el niño sabe que hay las mismas fichas aunque se separen.
• Principios del conteo (Gelman y Gallistel): contar bien supone respetar cinco principios: correspondencia uno a uno, orden estable, cardinalidad (el último número dicho indica cuántos hay), abstracción (se puede contar cualquier cosa) e irrelevancia del orden. Su trabajo matizó a Piaget: los niños tienen competencias numéricas antes de conservar.
• Secuencia numérica (Fuson): el dominio de la serie verbal pasa por niveles, desde recitarla como una cadena indivisible hasta poder empezar en cualquier número, contar hacia atrás y contar un número dado de pasos. Es la base de las primeras estrategias de suma y resta (contar todo, contar a partir de, contar a partir del mayor).
• Sentido numérico (Dehaene): los seres humanos compartimos con otras especies una representación aproximada de la cantidad; la escuela añade los símbolos y el cálculo exacto. No lo conviertas en neurociencia de divulgación: basta con la idea de que la intuición de cantidad existe y hay que conectarla con los símbolos.

Autores y cómo citarlos

Normativa

• Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas, primer ciclo: «Estrategias variadas de conteo y recuento sistemático en situaciones de la vida cotidiana en cantidades hasta el 999».
• Anexo II, Matemáticas, sobre los saberes: están «diseñados de acuerdo con el desarrollo evolutivo del alumnado».
• Anexo III: las situaciones de aprendizaje deben tener «tareas de creciente complejidad, en función de su nivel psicoevolutivo».

Aplicación al aula (1.º de Primaria, Matemáticas, rutina diaria)

Los días de cole: cada mañana se añade un palillo al bote de las unidades; al llegar a diez se atan con una goma y pasan al bote de las decenas; al llegar a diez decenas, al de las centenas (el día 100 se celebra). El alumno encargado cuenta en voz alta los palillos sueltos y las decenas, escribe el número en la pizarra y lo sitúa en una recta numérica de pared. En pocos minutos se trabajan conteo, agrupamiento, valor posicional, escritura y orden.

4.3. Sentido numérico, comprensión y procedimiento

Ideas clave

• Comprensión relacional frente a instrumental (Skemp): saber qué hacer y por qué, frente a saber aplicar una regla sin entenderla. La instrumental es rápida al principio, pero frágil y difícil de transferir.
• Representaciones: de lo manipulativo a lo gráfico y a lo simbólico. Es la secuencia de los modos de representación de Bruner (enactivo, icónico, simbólico), que hoy se suele llamar concreto-pictórico-abstracto.
• Matematización (Freudenthal): las matemáticas se aprenden matematizando situaciones reales; el alumno «reinventa» con guía lo que la humanidad tardó siglos en construir.
• Materiales estructurados: regletas de Cuisenaire (Cuisenaire y Gattegno), bloques multibase de Dienes, ábacos, rectas numéricas. El material no enseña solo: hay que verbalizar y conectar cada acción con el símbolo.
• Fluidez con comprensión: recordar con rapidez los hechos numéricos (dobles, complementos a 10, tablas) libera memoria para razonar. Comprensión y automatización no se oponen: se apoyan.
• Dimensión afectiva: la ansiedad y las creencias sobre las matemáticas influyen en el aprendizaje del cálculo. El currículo lo convierte en un sentido propio, el socioafectivo.

Autores

Normativa

• Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas: «El área debe abordarse de forma experiencial, concediendo especial relevancia a la manipulación, en especial en los primeros niveles, e impulsando progresivamente la utilización continua de recursos digitales».
• Anexo II, Matemáticas, sobre la progresión de los saberes: «parte de entornos muy cercanos y manipulativos que conectan con la etapa de Educación Infantil».
• Anexo II, sentido socioafectivo: se propone «normalizar el error como parte del aprendizaje» y contribuir a erradicar ideas preconcebidas como «el mito del talento innato indispensable».
• Anexo II, primer ciclo, saber A.2: «Representación de una misma cantidad de distintas formas (manipulativa, gráfica o numérica) y estrategias de elección de la representación adecuada para cada situación o problema».
• Real Decreto 157/2022, art. 6.7: «Se potenciará el aprendizaje significativo que promueva la autonomía y la reflexión».

Aplicación al aula (2.º de Primaria, Matemáticas)

Con regletas, los alumnos buscan todas las formas de construir la regleta del 10 con dos regletas (1 + 9, 2 + 8…) y las registran primero dibujadas y luego como sumas. Después resuelven 8 + 5 colocando la regleta del 8, completando hasta 10 con la del 2 y viendo que sobran 3: «8 + 5 = 8 + 2 + 3 = 13». La maestra pide que lo expliquen con palabras antes de escribirlo. La misma estrategia se retoma en el cálculo mental del epígrafe 6.3.

4.4. Los conjuntos numéricos: naturales, fraccionarios y decimales

Ideas clave por conjunto

Números naturales

• Usos del número: cardinal, ordinal, de medida y como código (el número de un autobús).
• Progresión curricular: hasta 999 (primer ciclo), hasta 9999 (segundo) y sin límite fijado en el tercero. El orden de magnitud se trabaja en el segundo ciclo (decenas, centenas y millares) y en el tercero.
• Dificultades: irregularidades del sistema verbal en castellano (once a quince no dejan ver el «diez y…»), escritura de los ceros intermedios (alumnos que escriben 10003004 al oír mil trescientos cuatro) y confusión entre cifra y número.

Números fraccionarios

• No son un concepto único. Kieren mostró que la fracción reúne varios significados relacionados: medida, cociente (reparto), razón y operador, con la relación parte-todo como punto de partida habitual.
• Dificultades: aplicar a las fracciones lo que vale para los naturales (pensar que 1/8 es mayor que 1/6 porque 8 > 6), partes no iguales en los dibujos, no ver la fracción como un número con un lugar en la recta.
• En castellano, la referencia clásica es Llinares y Sánchez (1988).

Números decimales

• Son otra escritura de las fracciones decimales (décimas, centésimas, milésimas) y prolongan el sistema posicional a la derecha de la unidad.
• Dificultades bien documentadas: pensar que «más cifras es más grande» (2,45 > 2,5), o lo contrario, «más cifras es más pequeño» por analogía con las fracciones; tratar la parte decimal como si fuera un natural (al leer «dos coma cuarenta y cinco» y «dos coma cinco», 45 parece mayor que 5). Esa lectura con «coma» es correcta y habitual, pero conviene alternarla con la que nombra el orden de unidades: «dos unidades y cuarenta y cinco centésimas». Resnick y colaboradores (1989) mostraron que estos errores proceden de reglas coherentes que el alumno traslada de los naturales o de las fracciones, no del descuido.
• Brousseau (1981) analizó por qué enseñar los decimales como «naturales con coma» genera obstáculos y propuso construirlos desde la medida. Centeno (1988) es la referencia en castellano.

Autores

Normativa (Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas, saberes del sentido numérico)

• Primer ciclo: «Lectura, representación (incluida la recta numérica y con materiales manipulativos), composición, descomposición y recomposición de números naturales hasta 999».
• Segundo ciclo: el mismo saber hasta 9999 y «Fracciones propias con denominador hasta 12 en contextos de la vida cotidiana».
• Tercer ciclo: lectura, representación y descomposición «de números naturales y decimales hasta las milésimas» y «Fracciones y decimales para expresar cantidades en contextos de la vida cotidiana y elección de la mejor representación para cada situación o problema».
• Como ejemplo de concreción, la Orden EFP/678/2022 (Ceuta y Melilla) precisa en el segundo ciclo que las fracciones se trabajan «como partes de la unidad, como partes de una colección y representación de forma concreta, pictórica y simbólica».

Aplicación al aula (3.º de Primaria, Matemáticas: fracciones como reparto)

Repartimos tortillas: tres tortillas de papel para cuatro amigos. Cada grupo recorta y reparte como quiera y luego compara: unos dan media tortilla y un cuarto a cada uno; otros cortan cada tortilla en cuatro y dan tres cuartos. Al poner en común se llega a que 1/2 + 1/4 y 3/4 son lo mismo, y a que la fracción también es el resultado de un reparto (3 entre 4). Se cierra situando 3/4 en una recta numérica de 0 a 1 pintada en una tira de papel.

Aplicación al aula (5.º de Primaria, Matemáticas y Educación Física)

Las olimpiadas de la clase: se cronometran carreras de 30 metros con tiempos en décimas y centésimas (5,8 s; 5,75 s; 6,1 s). Ordenar el podio obliga a comparar decimales con distinto número de cifras y hace aflorar el error «más cifras, más grande». La comprobación se hace escribiendo los tiempos en una tabla de valor posicional y en la recta numérica.

4.5. Los números enteros

Ideas clave

• Los enteros (positivos, negativos y el cero) permiten expresar cantidades con sentido: por encima o por debajo de una referencia, ganancias y pérdidas, avances y retrocesos.
• Estatus curricular (es el matiz que más diferencia un tema actualizado): el Real Decreto 157/2022 no los incluye en los saberes mínimos de Primaria. Aparecen en el primer bloque de Matemáticas de ESO. Algunas comunidades los mantienen en el tercer ciclo; comprueba tu decreto.
• Didáctica en Primaria (cuando tu currículo los incluye o como iniciación): contextos reales (temperaturas, plantas del ascensor por debajo de la calle, nivel del mar, la línea del tiempo antes y después de Cristo), representación en la recta numérica y ordenación. Sin regla de los signos: eso es de Secundaria.
• Obstáculo epistemológico: la comunidad matemática tardó muchos siglos en aceptar los negativos como números (Glaeser, 1981). Las dificultades del alumnado tienen precedente histórico: ayuda a no tratarlas como torpeza.
• Matiz para la línea del tiempo: el calendario histórico no tiene año cero (se pasa del 1 a. C. al 1 d. C.), así que no es una recta numérica perfecta. Si la usas, dilo.

Autores

Normativa

• Real Decreto 217/2022 (ESO), anexo II, Matemáticas, cursos de primero a tercero: «Números enteros, fraccionarios, decimales y raíces en la expresión de cantidades en contextos de la vida cotidiana».
• Real Decreto 1513/2006 (derogado), anexo II, tercer ciclo: «Números positivos y negativos. Utilización en contextos reales». Úsalo solo para explicar de dónde viene el título, nunca como norma vigente.

Aplicación al aula (6.º de Primaria, Matemáticas y Ciencias Sociales; si tu currículo autonómico incluye los enteros)

El termómetro de enero: durante una semana, cada pareja registra la temperatura mínima de una capital española (a partir de la previsión publicada) y la sitúa en un termómetro vertical de pared. Se ordenan las ciudades de la más fría a la menos fría y se responde a preguntas de variación («¿cuántos grados subió la mínima en Burgos del lunes al martes?») contando sobre el termómetro, sin reglas formales. Si tu comunidad no los incluye, la misma actividad sirve como puente hacia la ESO en las últimas semanas de 6.º.

4.6. Sistemas de numeración

Ideas clave

• Sistema de numeración: conjunto de símbolos y reglas para representar los números. Se clasifican por cómo combinan los símbolos:
  • Aditivos: el valor es la suma de los símbolos (egipcio jeroglífico). El romano es aditivo con un principio sustractivo (IV, IX, XL) y no tiene cero.
  • Multiplicativos o híbridos: combinan cifras y potencias de la base (chino tradicional; también nuestra forma de leer: «tres mil cuatrocientos»).
  • Posicionales: el valor de cada cifra depende de su lugar. Necesitan un símbolo para el lugar vacío. Ejemplos: babilónico (base 60, del que heredamos minutos y segundos), maya (base 20, con cero) e indoarábigo (base 10, con cero), que llegó a Europa a través de los textos árabes.
• El sistema decimal: base diez, diez cifras, valor posicional, el cero como marcador de posición y equivalencias entre órdenes (1 centena = 10 decenas = 100 unidades). Con los decimales, el mismo principio se prolonga hacia la derecha.
• Didáctica: agrupar y desagrupar con material (palillos, bloques multibase, ábaco), la tabla de valor posicional, la descomposición aditiva (345 = 300 + 40 + 5) y la multiplicativa (3 × 100 + 4 × 10 + 5). La comprensión del valor posicional es la condición para entender los algoritmos.
• La historia como recurso: comparar sistemas permite apreciar las ventajas del posicional (calcular en romanos es muy difícil) y conecta con Ciencias Sociales (los siglos se escriben en números romanos).

Autores

Normativa

• Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas, saber A.4: «Sistema de numeración de base diez (hasta el 999): aplicación de las relaciones que genera en las operaciones» (primer ciclo), hasta el 9999 en el segundo y, en el tercero, «números naturales y decimales hasta las milésimas».
• Real Decreto 126/2014 (derogado), anexo I, estándar 1.1 del bloque de números: «Identifica los números romanos aplicando el conocimiento a la comprensión de dataciones». Muchos temarios lo siguen citando: hoy los romanos no figuran en las enseñanzas mínimas estatales, aunque algunas comunidades los recogen (ver apartado 8).

Aplicación al aula (4.º de Primaria, Matemáticas y Ciencias Sociales)

Un museo de números: cada grupo investiga un sistema (egipcio, romano, maya, indoarábigo) y prepara una ficha con sus símbolos y reglas. Después, todos escriben el año de nacimiento de un abuelo y el número de alumnos del colegio en los cuatro sistemas e intentan sumar dos números en romanos sin pasar al decimal. La conclusión la sacan ellos: el sistema posicional con cero es el que permite calcular cómodamente. En Ciencias Sociales, se usa para escribir los siglos de la línea del tiempo de la clase.

4.7. Relaciones entre los números

Ideas clave

• Orden: comparar y ordenar naturales, fracciones y decimales; signos =, ≠, < y >.
• Equivalencia: una misma cantidad tiene muchas escrituras (fracciones equivalentes; 3/4 = 0,75 = 75 %). Elegir la representación más útil para cada problema es una competencia, no un truco.
• Recta numérica: el gran organizador. Siegler y Opfer (2003) observaron que, al situar números en una recta de 0 a 1000, los alumnos más pequeños comprimen los números grandes (representación logarítmica) y los mayores los distribuyen de forma lineal. Siegler y Ramani (2008) mostraron que jugar a juegos de tablero numerados en línea mejora la comprensión numérica de niños pequeños de entornos desfavorecidos.
• Relaciones aditivas y multiplicativas: la suma y la resta, la multiplicación y la división como operaciones inversas; múltiplos y divisores; números primos (en muchos currículos autonómicos).
• Proporcionalidad en el tercer ciclo: porcentajes, escalas, comparación multiplicativa.
• La igualdad como equivalencia: muchos alumnos leen «=» como «da como resultado» y no aceptan 5 = 3 + 2 o 8 + 4 = □ + 5. El currículo lo trabaja en el sentido algebraico desde el primer ciclo.

Normativa (Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas)

• Primer ciclo, sentido algebraico: «Expresión de relaciones de igualdad y desigualdad mediante los signos = y ≠ entre expresiones que incluyan operaciones».
• Segundo ciclo, saber A.4: «Números naturales y fracciones en contextos de la vida cotidiana: comparación y ordenación».
• Tercer ciclo, saber A.4: «Relación de divisibilidad: múltiplos y divisores» y «Relación entre fracciones sencillas, decimales y porcentajes».
• Tercer ciclo, saber A.5, razonamiento proporcional: «Resolución de problemas de proporcionalidad, porcentajes y escalas de la vida cotidiana, mediante la igualdad entre razones, la reducción a la unidad o el uso de coeficientes de proporcionalidad».

Aplicación al aula (6.º de Primaria, Matemáticas: educación financiera)

Rebajas de verdad: con folletos de supermercado, los alumnos comparan ofertas («la segunda unidad al 50 %», «3 × 2», «20 % de descuento») expresando cada una como fracción del precio, decimal y porcentaje, y deciden cuál sale más barata por unidad. Conecta con el saber de educación financiera del tercer ciclo y obliga a elegir la representación más cómoda para cada caso.

4.8. Operaciones de cálculo: el sentido de las operaciones

Ideas clave

• Saber operar no es solo saber calcular: es reconocer qué operación resuelve una situación. Por eso el currículo habla de sentido de las operaciones.
• Problemas aditivos de una etapa: a partir de Carpenter y Moser (1984) se distinguen problemas de cambio (juntar o separar), combinación (parte-parte-todo) y comparación; muchos manuales añaden la igualación. Dentro de cada tipo, la dificultad depende de cuál sea el dato desconocido: «Tenía 5 cromos, me dan algunos y ahora tengo 12» es mucho más difícil que «Tenía 5 y me dan 7».
• Estructuras aditivas y multiplicativas (Vergnaud): los conceptos se aprenden en campos de situaciones. En las multiplicativas distingue, entre otras, la proporcionalidad simple (3 paquetes de 6 yogures) y el producto cartesiano (3 camisetas y 4 pantalones: ¿cuántos conjuntos?).
• División: dos significados, reparto o partición (12 caramelos entre 3 niños, ¿cuántos a cada uno?) y agrupamiento o cuotición (12 caramelos en bolsas de 3, ¿cuántas bolsas?). El currículo habla de «reparto y partición»; ojo, porque en la bibliografía de didáctica la división partitiva es precisamente la de reparto y la de agrupamiento se llama cuotitiva o de medida. Lo que importa es trabajar los dos significados.
• Propiedades (conmutativa, asociativa, distributiva, elemento neutro) como herramientas de cálculo, no como definiciones para memorizar.
• La resolución de problemas es tema propio (tema 21); aquí basta con mostrar que las operaciones se aprenden desde situaciones.

Autores

Normativa (Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas)

• Segundo ciclo, saber A.3: «Estrategias de reconocimiento de qué operaciones simples (suma, resta, multiplicación, división como reparto y partición) son útiles para resolver situaciones contextualizadas».
• Segundo ciclo, saber A.3: «Construcción de las tablas de multiplicar apoyándose en número de veces, suma repetida o disposición en cuadrículas».
• Tercer ciclo, saber A.3: «Potencia como producto de factores iguales. Cuadrados y cubos».
• Real Decreto 157/2022, art. 6.9: se dedicará un tiempo del horario lectivo «a la realización de proyectos significativos para el alumnado y a la resolución colaborativa de problemas».

Aplicación al aula (4.º de Primaria, Matemáticas: tablas con sentido)

Las tablas en la cuadrícula: cada alumno representa en papel cuadriculado rectángulos de 3 × 4, 4 × 3, 6 × 4… y descubre que 3 × 4 y 4 × 3 ocupan lo mismo (propiedad conmutativa) y que 6 × 4 es el doble de 3 × 4. Con esas relaciones construyen la tabla del 6 a partir de la del 3, y la del 8 a partir de la del 4. Solo después se practica la recuperación rápida con juegos de cartas por parejas.

4.9. Cálculo escrito

Ideas clave

• Algoritmo: secuencia finita de pasos que resuelve siempre un tipo de operación. Los algoritmos tradicionales son muy eficaces, pero esconden el valor posicional («me llevo una»).
• Críticas: aplicados demasiado pronto y sin comprensión, desplazan las estrategias propias de los niños. Kamii defiende, desde la teoría de Piaget, que los niños pueden inventar procedimientos de cálculo y que la comprensión del valor posicional debe preceder al algoritmo.
• Algoritmos alternativos: descomposición en columnas, algoritmos extendidos, multiplicación en cuadrícula, división por restas sucesivas o con tanteo de cocientes parciales. Hacen visible el valor posicional y pueden evolucionar hacia el tradicional.
• El método ABN (algoritmos abiertos basados en números) de Jaime Martínez Montero: trabaja con números completos y no con cifras aisladas, admite distintos caminos y se apoya mucho en el cálculo mental. Está muy extendido en España. Preséntalo como una propuesta metodológica entre otras: ni la LOE ni el Real Decreto 157/2022 prescriben ningún algoritmo.
• Qué pide el currículo: operaciones «con flexibilidad y sentido», no un algoritmo concreto. Que el alumno explique su procedimiento y compruebe el resultado.

Autores

Normativa (Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas)

• Primer ciclo, saber A.3: «Suma y resta de números naturales resueltas con flexibilidad y sentido: utilidad en situaciones contextualizadas, estrategias y herramientas de resolución y propiedades».
• Segundo ciclo, saber A.3: «Suma, resta, multiplicación y división de números naturales resueltas con flexibilidad y sentido en situaciones contextualizadas: estrategias y herramientas de resolución y propiedades».
• Tercer ciclo, criterio 2.3: «Comprobar la corrección matemática de las soluciones de un problema y su coherencia en el contexto planteado».

Aplicación al aula (3.º de Primaria, Matemáticas: de la descomposición al algoritmo)

Para 47 + 38, los alumnos primero lo resuelven con bloques multibase (juntan 7 y 8 unidades, cambian 10 unidades por una decena), luego lo escriben en vertical descompuesto (40 + 30 = 70; 7 + 8 = 15; 70 + 15 = 85) y por último en el algoritmo tradicional, señalando con color que la «una que me llevo» es la decena que cambiaron con los bloques. Para evaluar, se les pide explicar a un compañero de 2.º por qué funciona.

4.10. Cálculo mental

Ideas clave

• Es el cálculo sin papel (o con apoyo mínimo), que se hace con estrategias flexibles y no reproduciendo el algoritmo escrito «en la cabeza».
• Dos componentes: el repertorio de hechos numéricos memorizados (dobles, complementos a 10 y a 100, tablas) y las estrategias para combinarlos.
• Estrategias que hay que enseñar explícitamente: contar a partir del mayor; dobles y casi dobles (7 + 8 = 7 + 7 + 1); completar la decena (8 + 5 = 8 + 2 + 3); descomposición (47 + 25 = 47 + 20 + 5); compensación (99 + 47 = 100 + 47 − 1); redondeo y ajuste; propiedad distributiva (7 × 12 = 7 × 10 + 7 × 2); multiplicar por 5 como multiplicar por 10 y dividir entre 2.
• Rutinas breves y frecuentes, con puesta en común de estrategias: lo importante no es solo el resultado, sino escuchar caminos distintos para el mismo cálculo.
• Es la base de la estimación y del uso crítico de la calculadora.

Normativa (Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas, saber A.3)

• Primer ciclo: «Estrategias de cálculo mental con números naturales hasta 999».
• Segundo ciclo: «Estrategias de cálculo mental con números naturales y fracciones».
• Tercer ciclo: «Estrategias de cálculo mental con números naturales, fracciones y decimales».
• La Orden EFP/678/2022 (Ceuta y Melilla) añade en el tercer ciclo las «Estrategias (descomposición, modelo de barras…) de cálculo mental» y, en todos los ciclos, la «Explicación razonada de la estrategia seleccionada».

Aplicación al aula (5.º de Primaria, Matemáticas: rutina de diez minutos)

Charlas numéricas: tres veces por semana, la maestra escribe un cálculo en la pizarra (25 × 16, por ejemplo). Los alumnos piensan en silencio y levantan el pulgar cuando tienen una respuesta, y otro dedo por cada estrategia distinta que encuentren. Se recogen en la pizarra todas las estrategias (25 × 4 × 4; 25 × 10 + 25 × 6; 100 × 16 : 4) y se vota cuál es la más cómoda para ese caso concreto. El error se trata como una estrategia más que hay que revisar.

4.11. Estimación

Ideas clave

• Estimar es obtener un valor aproximado razonable sin hacer el cálculo exacto, y saber si un resultado tiene sentido.
• Tres tipos: estimación de cantidades (¿cuántos garbanzos hay en el bote?), de medidas (tema 23) y de cálculos (¿unos 300 o unos 3000?).
• Estrategias de estimación de cálculos: redondeo a la decena o centena, cálculo con la cifra de mayor orden y ajuste, números compatibles (para 247 : 6, pensar en 240 : 6).
• Aproximación por exceso y por defecto; la estimación no es «adivinar»: se razona y se justifica.
• Uso más útil en el aula: estimar antes de calcular, por escrito o con calculadora, y comparar después.

Normativa (Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas, saber A.2)

• Primer ciclo: «Estimaciones razonadas de cantidades en contextos de resolución de problemas».
• Segundo y tercer ciclo: «Estimaciones y aproximaciones razonadas de cantidades en contextos de resolución de problemas».
• La Orden EFP/678/2022 concreta en el tercer ciclo el redondeo «a cualquier orden de la unidad y de los decimales a la décima y centésima más cercana».
• Segundo ciclo, educación financiera: «Cálculo y estimación de cantidades y cambios (euros y céntimos de euro) en problemas de la vida cotidiana: ingresos, gastos y ahorro».

Aplicación al aula (4.º de Primaria, Matemáticas: educación financiera)

¿Nos llega para la merienda?: con un presupuesto de 20 euros para la merienda de la excursión, los alumnos eligen productos de un folleto y estiman el total redondeando cada precio al euro antes de sumar con exactitud. Comparan estimación y resultado, y discuten cuándo conviene redondear por exceso (para no quedarse corto en la caja) y cuándo por defecto.

4.12. La calculadora

Ideas clave

• No sustituye al cálculo mental ni al escrito: es un procedimiento más, que hay que saber elegir.
• Evidencia: dos metaanálisis clásicos (Hembree y Dessart, 1986; Ellington, 2003) concluyeron que el uso de la calculadora no perjudica en general las destrezas de cálculo y puede mejorar la resolución de problemas y la actitud. La guía de la Education Endowment Foundation (2017, actualizada en 2022), que revisa esa investigación, recomienda integrarla en la enseñanza del cálculo y enseñar a decidir cuándo, dónde y por qué usarla, para que el alumnado acabe usándola menos, pero mejor.
• Usos didácticos: explorar regularidades (sumar 10 repetidamente con la tecla de constante), comprobar estimaciones, trabajar el valor posicional (la tecla rota: obtener 305 sin usar el 0), liberar carga cuando el objetivo es el razonamiento del problema y no la cuenta, y trabajar con datos reales.
• Ruthven (1998) observó que alumnos del final de primaria formados en un currículo que contaba con la calculadora no dependían de ella de forma indiscriminada y seguían recurriendo al cálculo mental.

Autores

Normativa (Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas)

• Tercer ciclo, saber A.3: «Estrategias de resolución de operaciones aritméticas (con números naturales, decimales y fracciones) con flexibilidad y sentido: mentalmente, de manera escrita o con calculadora; utilidad en situaciones contextualizadas y propiedades». Es la cita que recoge los procedimientos del título en una sola frase.
• Primer ciclo, criterio 4.2: «Emplear herramientas tecnológicas adecuadas, de forma guiada, en el proceso de resolución de problemas».
• Real Decreto 157/2022, anexo I, descriptor STEM1 al completar la Primaria: «Utiliza, de manera guiada, algunos métodos inductivos y deductivos propios del razonamiento matemático en situaciones conocidas, y selecciona y emplea algunas estrategias para resolver problemas reflexionando sobre las soluciones obtenidas».

Aplicación al aula (6.º de Primaria, Matemáticas: elegir el procedimiento)

¿Cabeza, papel o calculadora?: se reparten diez cálculos mezclados (500 : 10; 3,99 × 4; 7856 × 349; 1/2 de 86; 12 % de 2350…). Por parejas, primero deciden qué procedimiento usarán para cada uno y lo justifican; después compiten: un miembro con calculadora y el otro pensando. Descubren que en muchos casos la cabeza es más rápida. En los cálculos con calculadora, estiman antes el resultado para detectar errores de tecleo.

4.13. Intervención educativa

Principios metodológicos (con su apoyo)

1. Partir de los conocimientos previos y del conteo informal (Baroody; Fuson), con una evaluación inicial de conteo, valor posicional y estrategias.
2. De lo concreto a lo abstracto con material y representaciones (Bruner; Dienes). La Education Endowment Foundation lo recomienda, pero advierte de que el alumno debe entender el vínculo entre el material y la idea matemática.
3. Comprensión antes que mecanización, y luego fluidez (Skemp).
4. Contextos reales y situaciones de aprendizaje (Freudenthal; anexo III).
5. Verbalizar las estrategias (competencia específica 6) y usar el error como información.
6. Juego y recursos digitales: tableros lineales en el primer ciclo, cartas para los hechos numéricos, calculadora, hoja de cálculo y applets de recta numérica o de bloques multibase.

Errores frecuentes del alumnado (y qué indican)

Evaluación

• Global, continua y formativa (Real Decreto 157/2022, art. 14.1), con los criterios del área como referentes.
• Instrumentos: entrevistas breves de cálculo en voz alta, registro de estrategias en las rutinas de cálculo mental y rúbricas que valoren la explicación, no solo el resultado.
• LOE, art. 21: «En el cuarto curso de educación primaria todos los centros realizarán una evaluación de diagnóstico de las competencias adquiridas por su alumnado». Sus resultados pueden orientar planes de mejora del centro en cálculo.

Atención a las diferencias individuales

• Real Decreto 157/2022, art. 16.5: mecanismos de apoyo y refuerzo «tan pronto como se detecten dificultades de aprendizaje» (apoyo en el grupo ordinario, agrupamientos flexibles, adaptaciones del currículo).
• Real Decreto 157/2022, art. 18.1 y LOE, art. 79 bis.1: corresponde a las administraciones educativas «identificar al alumnado con dificultades específicas de aprendizaje y valorar de forma temprana sus necesidades». En este tema, la discalculia: Butterworth, Varma y Laurillard (2011) la describen como una dificultad de base para representar y manipular cantidades, y revisan intervenciones dirigidas a reforzar esa comprensión básica de la cantidad.
• DUA (Real Decreto 157/2022, art. 5.4: las medidas «se regirán por los principios del Diseño Universal para el Aprendizaje»): el mismo cálculo representado con material, dibujo, recta y símbolo; respuestas orales, escritas o con material; retos graduados.
• Altas capacidades: profundizar (otras bases, patrones numéricos, problemas abiertos) en lugar de más cuentas del mismo tipo.

Normativa general de la intervención

• Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas, competencia específica 7, criterio 7.2 del primer ciclo: «Expresar actitudes positivas ante retos matemáticos, valorando el error como una oportunidad de aprendizaje».
• Anexo II, Matemáticas: combinar metodologías que favorezcan unas matemáticas inclusivas; «Las metodologías activas son especialmente adecuadas en un enfoque competencial».

4.14. Una situación de aprendizaje para el tema

5.º de Primaria. «Organizamos el mercadillo solidario» (Matemáticas, Lengua Castellana y Literatura y Educación en Valores Cívicos y Éticos o tutoría)

• Reto: organizar un mercadillo para recaudar fondos para una causa elegida por la clase.
• Tareas: estimar cuántos objetos se pueden vender y a qué precio (estimación); fijar precios en euros y céntimos y calcular cambios (decimales y cálculo mental); hacer ofertas («un 20 % menos el último día») y comparar su efecto (porcentajes, fracciones); llevar la caja en una hoja de cálculo (calculadora y recursos digitales); repartir la recaudación entre dos causas en una proporción acordada (fracciones y proporcionalidad); escribir una carta a las familias y presentar las cuentas finales (comunicación).
• Procedimientos de cálculo: mental en la caja, escrito en el balance, estimado en la previsión y con calculadora u hoja de cálculo en el registro final.
• Atención a las diferencias: tabla de precios con imágenes y material de dinero para quien lo necesite; retos de optimización de ofertas para quien va más rápido.
• Evaluación: criterios de las competencias específicas 2, 5 y 6 del área, con una rúbrica de la explicación de las cuentas y la autoevaluación del trabajo en equipo (competencia específica 8).

4.15. Conclusión

Ideas clave: el número se construye, no se recita; el cálculo es un repertorio de procedimientos que se eligen con criterio (escrito, mental, estimado o con calculadora); la comprensión del sistema decimal sostiene todo lo demás; y el currículo actual lo resume en el sentido numérico. Cierra con la idea de que un buen maestro de Matemáticas no es el que consigue cuentas rápidas, sino alumnos que saben qué cálculo necesitan y si el resultado tiene sentido.

---

5. Tabla resumen por ciclos

Fuente: Real Decreto 157/2022, anexo II, Matemáticas (saberes del sentido numérico). Los límites numéricos son los mínimos estatales; tu comunidad puede ampliarlos.

---

6. Errores frecuentes en este tema

1. Presentar los enteros como saber de Primaria sin matizar. No están en las enseñanzas mínimas del Real Decreto 157/2022. Trátalos (están en el título), pero di dónde están hoy: ESO y, en algunas comunidades, tercer ciclo.
2. Citar normativa derogada como vigente. El Real Decreto 1513/2006 y el Real Decreto 126/2014 (con sus estándares, como el de los números romanos) están derogados. Úsalos solo para explicar el origen del título.
3. Un tema de definiciones y no de aprendizaje. Definir conjuntos numéricos como en un libro de ESO y no hablar de cómo los aprende un niño de 7 años es el fallo más común.
4. Despachar los cuatro procedimientos en un párrafo. El título los enumera: cada uno necesita su desarrollo, su normativa y su ejemplo.
5. Confundir cifra y número, o usar «número» para el símbolo y para la cantidad indistintamente. Un tribunal de Matemáticas lo nota.
6. Presentar el ABN (o cualquier método) como obligatorio. La norma pide flexibilidad y sentido, no un algoritmo concreto. Puedes defender un método si lo justificas, sin descalificar a quien enseña el tradicional.
7. Demonizar o idealizar la calculadora. Ni «la calculadora atrofia» ni «ya no hace falta calcular». La evidencia y el currículo piden enseñar a elegir.
8. Olvidar la dimensión afectiva. El sentido socioafectivo es un bloque de saberes del área; la ansiedad ante el cálculo y el error tienen sitio en la intervención.
9. Aplicaciones genéricas. «Usaremos material manipulativo» no dice nada. Di qué material, en qué curso, para qué operación y cómo se pasa al símbolo.
10. Neuromitos. Nada de «hemisferio izquierdo matemático» ni de «estilos de aprendizaje». Si citas a Dehaene, quédate en el sentido numérico y en la conexión entre cantidad y símbolo.

---

7. Cómo diferenciarse

Ideas con base suficiente para dar valor añadido sin perder rigor:

• La recta numérica como columna vertebral (Siegler y Opfer, 2003; Siegler y Ramani, 2008; Education Endowment Foundation, 2022): una misma recta de pared que evoluciona de los naturales del primer ciclo a las fracciones y los decimales del tercero.
• El error como diagnóstico: una tabla de errores típicos con su causa (apartado 4.13) demuestra conocimiento didáctico, no solo matemático.
• Calculadora con evidencia: los metaanálisis de Hembree y Dessart (1986) y Ellington (2003) desmontan un tópico con datos.
• Leer el título con la norma de 2022. Explicar en la introducción la tabla del apartado 1 (de dónde viene cada palabra del título y dónde está hoy) muestra dominio normativo sin recitar artículos.
• Igualdad como equivalencia y preálgebra. Pocas personas conectan el cálculo con el sentido algebraico: el trabajo con «=» como equivalencia y los cálculos con huecos (8 + 4 = □ + 5) preparan el álgebra de la ESO y están en el currículo desde el primer ciclo.
• Conexión con la ESO. La transición de Primaria a Secundaria es justo donde aparecen los enteros: proponer una actividad puente en 6.º (apartado 4.5) responde a la vez al título y a la coordinación entre etapas.

Lo que no recomendamos: dar porcentajes de prevalencia de la discalculia o resultados de evaluaciones internacionales sin la fuente y el año exactos, ni presentar como demostrada la superioridad de un método de cálculo sobre otro. Las comparaciones disponibles tienen diseños muy distintos y no permiten afirmaciones tajantes.

---

8. La parte autonómica

En tu decreto (u orden) de currículo de Primaria, busca el área de Matemáticas y compara su bloque de números con el estatal: muchas comunidades amplían los saberes mínimos, y es ahí donde el tema gana precisión. Comprueba en concreto si tu currículo incluye números enteros o negativos y en qué ciclo, si recoge los números romanos (a veces en Matemáticas, a veces en Ciencias Sociales para datar los siglos), los números primos y criterios de divisibilidad, el redondeo y hasta qué orden, y cualquier referencia a la calculadora o a métodos de cálculo concretos. Como ejemplo, hemos comprobado que el Decreto 61/2022 de la Comunidad de Madrid llama a este bloque «Números y operaciones» e incluye en el tercer ciclo la lectura, escritura y ordenación de números enteros, y que en Ciencias Sociales (segundo ciclo) recoge el uso de los números romanos para indicar los siglos; la Orden EFP/678/2022 (Ceuta y Melilla) añade, entre otros, los criterios de divisibilidad, los números primos y el uso de la calculadora en varios saberes. Si tu comunidad tiene normativa propia sobre dificultades específicas de aprendizaje o atención a la diversidad, cítala al hablar de la discalculia.

La norma de currículo de cada comunidad está en la tabla común de normativa autonómica.

---

9. Bibliografía (APA 7)

Normativa

• Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. Boletín Oficial del Estado, 106, de 4 de mayo de 2006. Texto consolidado (última actualización publicada el 8 de junio de 2024). https://www.boe.es/buscar/act.php?id=BOE-A-2006-7899
• Ley Orgánica 3/2020, de 29 de diciembre, por la que se modifica la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. Boletín Oficial del Estado, 340, de 30 de diciembre de 2020. https://www.boe.es/buscar/act.php?id=BOE-A-2020-17264
• Real Decreto 157/2022, de 1 de marzo, por el que se establecen la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Primaria. Boletín Oficial del Estado, 52, de 2 de marzo de 2022. https://www.boe.es/buscar/act.php?id=BOE-A-2022-3296
• Real Decreto 217/2022, de 29 de marzo, por el que se establece la ordenación y las enseñanzas mínimas de la Educación Secundaria Obligatoria. Boletín Oficial del Estado, 76, de 30 de marzo de 2022. https://www.boe.es/buscar/act.php?id=BOE-A-2022-4975
• Orden EFP/678/2022, de 15 de julio, por la que se establece el currículo y se regula la ordenación de la Educación Primaria en el ámbito de gestión del Ministerio de Educación y Formación Profesional. Boletín Oficial del Estado, 174, de 21 de julio de 2022. https://www.boe.es/buscar/act.php?id=BOE-A-2022-12066 (aplicable en Ceuta y Melilla; citada como ejemplo de concreción).
• Orden ECI/592/2007, de 12 de marzo, por la que se aprueba el temario que ha de regir en el procedimiento de ingreso, accesos y adquisición de nuevas especialidades, para la especialidad de Primaria en el Cuerpo de Maestros. Boletín Oficial del Estado, 64, de 15 de marzo de 2007. https://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2007-5478
• Orden ECD/191/2012, de 6 de febrero, por la que se regulan los temarios que han de regir en los procedimientos de ingreso, accesos y adquisición de nuevas especialidades en los cuerpos docentes establecidos en la Ley Orgánica 2/2006, de 3 de mayo, de Educación. Boletín Oficial del Estado, 32, de 7 de febrero de 2012. https://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2012-1825
• Decreto de currículo de Educación Primaria de tu comunidad autónoma (ver apartado 8).

Normas derogadas citadas solo para explicar el origen del título:

• Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas de la Educación primaria. Boletín Oficial del Estado, 293, de 8 de diciembre de 2006. https://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2006-21409
• Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria. Boletín Oficial del Estado, 52, de 1 de marzo de 2014. https://www.boe.es/buscar/doc.php?id=BOE-A-2014-2222

Obras de referencia

• Baroody, A. J. (1987). Children’s mathematical thinking: A developmental framework for preschool, primary, and special education teachers. Teachers College Press. Trad. cast.: El pensamiento matemático de los niños: un marco evolutivo para maestros de preescolar, ciclo inicial y educación especial. Visor, 1988.
• Bruner, J. S. (1966). Toward a theory of instruction. Belknap Press of Harvard University Press. Trad. cast.: Hacia una teoría de la instrucción. UTEHA, 1969.
• Carpenter, T. P. y Moser, J. M. (1984). The acquisition of addition and subtraction concepts in grades one through three. Journal for Research in Mathematics Education, 15(3), 179-202. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.15.3.0179
• Castro, E., Rico, L. y Castro, E. (1987). Números y operaciones: fundamentos para una aritmética escolar. Síntesis.
• Centeno, J. (1988). Números decimales: ¿por qué?, ¿para qué? Síntesis.
• Cuisenaire, G. y Gattegno, C. (1954). Numbers in colour: A new method of teaching arithmetic in primary schools. Heinemann.
• Dehaene, S. (1997). The number sense: How the mind creates mathematics. Oxford University Press. Trad. cast.: El cerebro matemático: cómo nacen, viven y a veces mueren los números en nuestra mente. Siglo XXI Editores, 2016.
• Dienes, Z. P. (1960). Building up mathematics. Hutchinson Educational.
• Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an educational task. Reidel.
• Fuson, K. C. (1988). Children’s counting and concepts of number. Springer.
• Gelman, R. y Gallistel, C. R. (1978). The child’s understanding of number. Harvard University Press.
• Gómez Alfonso, B. (1988). Numeración y cálculo. Síntesis.
• González, J. L., Iriarte, M. D., Jimeno, M., Ortiz, A., Sanz, E. y Vargas-Machuca, I. (1990). Números enteros. Síntesis.
• Ifrah, G. (1981). Histoire universelle des chiffres. Seghers. Trad. cast.: Historia universal de las cifras: la inteligencia de la humanidad contada por los números y el cálculo. Espasa, 1997.
• Kamii, C. K. y DeClark, G. (1985). Young children reinvent arithmetic: Implications of Piaget’s theory. Teachers College Press. Trad. cast.: El niño reinventa la aritmética: implicaciones de la teoría de Piaget. Visor, 1986.
• Kieren, T. E. (1976). On the mathematical, cognitive and instructional foundations of rational numbers. En R. A. Lesh (Ed.), Number and measurement: Papers from a research workshop (pp. 101-144). ERIC/SMEAC.
• Llinares, S. y Sánchez, M. V. (1988). Fracciones: la relación parte-todo. Síntesis.
• Martínez Montero, J. (2000). Una nueva didáctica del cálculo para el siglo XXI. CissPraxis.
• Piaget, J. y Szeminska, A. (1941). La genèse du nombre chez l’enfant. Delachaux et Niestlé. Trad. cast.: Génesis del número en el niño. Guadalupe, 1967.
• Skemp, R. R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, 20-26. (Reimpreso en Arithmetic Teacher, 26(3), 1978, 9-15, https://doi.org/10.5951/at.26.3.0009).
• Vergnaud, G. (1981). L’enfant, la mathématique et la réalité: problèmes de l’enseignement des mathématiques à l’école élémentaire. Peter Lang. Trad. cast.: El niño, las matemáticas y la realidad: problemas de la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Trillas, 1991.

Artículos de investigación

• Brousseau, G. (1981). Problèmes de didactique des décimaux. Recherches en Didactique des Mathématiques, 2(1), 37-127.
• Butterworth, B., Varma, S. y Laurillard, D. (2011). Dyscalculia: From brain to education. Science, 332(6033), 1049-1053. https://doi.org/10.1126/science.1201536
• Ellington, A. J. (2003). A meta-analysis of the effects of calculators on students’ achievement and attitude levels in precollege mathematics classes. Journal for Research in Mathematics Education, 34(5), 433-463. https://doi.org/10.2307/30034795
• Glaeser, G. (1981). Épistémologie des nombres relatifs. Recherches en Didactique des Mathématiques, 2(3), 303-346.
• Hembree, R. y Dessart, D. J. (1986). Effects of hand-held calculators in precollege mathematics education: A meta-analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 17(2), 83-99. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.17.2.0083
• Martínez Montero, J. (2011). El método de cálculo abierto basado en números (ABN) como alternativa de futuro respecto a los métodos tradicionales cerrados basados en cifras (CBC). Bordón. Revista de Pedagogía, 63(4), 95-110.
• Resnick, L. B., Nesher, P., Leonard, F., Magone, M., Omanson, S. y Peled, I. (1989). Conceptual bases of arithmetic errors: The case of decimal fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 20(1), 8-27. https://doi.org/10.5951/jresematheduc.20.1.0008
• Ruthven, K. (1998). The use of mental, written and calculator strategies of numerical computation by upper primary pupils within a ‘calculator-aware’ number curriculum. British Educational Research Journal, 24(1), 21-42. https://doi.org/10.1080/0141192980240103
• Siegler, R. S. y Opfer, J. E. (2003). The development of numerical estimation: Evidence for multiple representations of numerical quantity. Psychological Science, 14(3), 237-250. https://doi.org/10.1111/1467-9280.02438
• Siegler, R. S. y Ramani, G. B. (2008). Playing linear numerical board games promotes low-income children’s numerical development. Developmental Science, 11(5), 655-661. https://doi.org/10.1111/j.1467-7687.2008.00714.x

Webgrafía

• Agencia Estatal Boletín Oficial del Estado. Legislación consolidada. https://www.boe.es
• Education Endowment Foundation. (2022). Improving mathematics in Key Stages 2 and 3: Guidance report (actualización de la guía de 2017). https://educationendowmentfoundation.org.uk/education-evidence/guidance-reports/maths-ks-2-3
• Revista Recherches en Didactique des Mathématiques (archivo de artículos). https://revue-rdm.com

---

10. Fuentes verificadas

Comprobaciones realizadas en octubre de 2026. «Verificado» significa que el dato se ha contrastado en la fuente indicada.

Temario y su vigencia

Normativa estatal

Normativa autonómica (ejemplo del apartado 8)

Obras y artículos